【点F是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点,过原点的直线交椭圆于点A,P.PF垂直于x轴直线AF交椭圆于B,PB垂直于PA,求该椭圆的离心率】
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更新时间:2024-04-27 22:07:12
问题描述：
点F是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点,过原点的直线交椭圆于点A,P.PF垂直于x轴
直线AF交椭圆于B,PB垂直于PA,求该椭圆的离心率
鲍喜荣回答：
F(√(a^2-b^2),0)P(√(a^2-b^2),b^2/a)A(-√(a^2-b^2),-b^2/a)
直线AF方程：y=b^/(2a√(a^2-b^2)(x-√(a^2-b^2))
与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1联立解得：
B(√(a^2-b^2)*(-b^2+4*a^2)/(4*a^2-3*b^2),b^4/[a(4*a^2-3*b^2)])
向量AP=（2√(a^2-b^2),2b^2/a）
向量BP=(√(a^2-b^2)-√(a^2-b^2)*(-b^2+4*a^2)/(4*a^2-3*b^2),b^2/a-b^4/[a(4*a^2-3*b^2)])
∵PB垂直于PA
∴(a^2-b^2)-(a^2-b^2)*(-b^2+4*a^2)/(4*a^2-3*b^2)+b^4/a^2-b^6/[a^2(4*a^2-3*b^2)]=0
-2*b^2*(a^4-3*a^2*b^2+2*b^4)/a^2/(4*a^2-3*b^2)=0
(a^2-b^2)^2=(a^2*-b^2)b^2
c^4=c^2(a^2-c^2)
e^4=e^2(1-e^2)
2e^4=e^2
2e^2=1
e=√2/2
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